Olasılıkta formül tek satır: istenen çıktı sayısı bölü tüm çıktı sayısı. Zorluk hesapta değil, örnek uzayı doğru yazmakta — özellikle iki zar veya iki para atma sorularında. Bu sayfada örnek uzaydan başlayıp tümleyen olay ve ayrık olaylara kadar gideceğiz.
1. Temel kavramlar
Örnek uzay: Bir deneyin tüm olası sonuçlarının kümesidir.
Olay: Örnek uzayın bir alt kümesidir.
Çıktı: Örnek uzayın tek bir elemanıdır.
bir zar atma deneyi:
örnek uzay = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 çıktı
olay örnekleri:
"asal sayı gelmesi" = {2, 3, 5} → 3 çıktı
"4'ten büyük gelmesi" = {5, 6} → 2 çıktı
"çift gelmesi" = {2, 4, 6} → 3 çıktı
| Deney | Örnek uzay | Çıktı sayısı |
|---|
| Para atma | {Yazı, Tura} | 2 |
| Zar atma | {1, 2, 3, 4, 5, 6} | 6 |
| İki para atma | {YY, YT, TY, TT} | 4 |
| İki zar atma | (1,1) … (6,6) | 36 |
2. Teorik olasılık
Teorik olasılık: Bir olayın gerçekleşme olasılığı, o olayın çıktı sayısının örnek uzayın çıktı sayısına oranıdır.
P(A) = istenen çıktı sayısı / tüm çıktı sayısı
Bir olasılık değeri her zaman 0 ile 1 arasındadır. 0 imkânsız olayı, 1 kesin olayı gösterir.
Bir zar atıldığında asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
örnek uzay = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 çıktı
asal olanlar = {2, 3, 5} → 3 çıktı
P(asal) = 3/6 = 1/2
1/2 — dikkat: 1 asal sayı değildir, 2 ise asaldır.
Bir zar atıldığında 4'ten büyük gelme olasılığı kaçtır?
4'ten büyük olanlar = {5, 6} → 2 çıktı
P(4'ten büyük) = 2/6 = 1/3
1/3 — "4'ten büyük" ifadesinde 4 dâhil değildir. "4 ve daha büyük" olsaydı {4, 5, 6} olurdu.
Bir torbada 4 kırmızı, 6 mavi ve 5 yeşil bilye var. Rastgele çekilen bir bilyenin mavi olma olasılığı kaçtır?
toplam bilye = 4 + 6 + 5 = 15
P(mavi) = 6/15 = 2/5
2/5
Toplamı hesaplamayı atlamak. Yukarıdaki soruda payda 6 veya 15 değil, 15'tir ve bu sayıyı bulmak için üç rengi toplaman gerekir. Torba sorularında en çok kaybedilen puan burada.
3. Tümleyen olay
Tümleyen olay: Bir olayın gerçekleşmediği durumların oluşturduğu olaydır. A olayının tümleyeni A' ile gösterilir.
P(A) + P(A') = 1 → P(A') = 1 − P(A)
Bir zar atıldığında 4'ten büyük gelmeme olasılığı kaçtır?
P(4'ten büyük) = 2/6 = 1/3
tümleyen:
P(4'ten büyük değil) = 1 − 1/3
= 3/3 − 1/3
= 2/3
doğrudan sayarak kontrol:
4'ten büyük olmayanlar = {1, 2, 3, 4} → 4 çıktı
4/6 = 2/3 ✓ aynı
2/3
4 kırmızı, 6 mavi, 5 yeşil bilye olan torbadan çekilen bilyenin kırmızı olmama olasılığı kaçtır?
toplam = 15
P(kırmızı) = 4/15
P(kırmızı değil) = 1 − 4/15
= 15/15 − 4/15
= 11/15
kontrol: kırmızı olmayanlar = 6 + 5 = 11
11/15 ✓
11/15
Tümleyen ne zaman kullanılır? Soruda "en az bir", "hiç ... olmama" veya "... değil" ifadeleri varsa tümleyenle çözmek neredeyse her zaman daha kısadır. İstenmeyeni hesaplayıp 1'den çıkarmak, tek tek saymaktan hızlıdır.
Bir para iki kez atıldığında en az bir yazı gelme olasılığı kaçtır?
örnek uzay = {YY, YT, TY, TT} → 4 çıktı
"en az bir yazı" ifadesinin TÜMLEYENİ:
"hiç yazı gelmemesi" = {TT} → 1 çıktı
P(hiç yazı yok) = 1/4
P(en az bir yazı) = 1 − 1/4 = 3/4
doğrudan sayarak kontrol:
yazı içerenler = {YY, YT, TY} → 3 çıktı
3/4 ✓
3/4
4. Ayrık ve ayrık olmayan olaylar
Ayrık olaylar: Aynı anda gerçekleşemeyen olaylardır; ortak çıktıları yoktur. Kesişimleri boş kümedir.
Ayrık olmayan olaylar: Ortak çıktısı bulunan olaylardır.
Zar atma deneyinde "tek sayı gelmesi" ile "4 gelmesi" olayları ayrık mıdır?
tek sayı = {1, 3, 5}
4 gelmesi = {4}
ortak eleman var mı? YOK
kesişim = boş küme
→ bu iki olay AYRIKTIR
Ayrık olaylardır.
Zar atma deneyinde "tek sayı gelmesi" ile "asal sayı gelmesi" olayları ayrık mıdır?
tek sayı = {1, 3, 5}
asal sayı = {2, 3, 5}
ortak elemanlar: 3 ve 5
kesişim = {3, 5} → boş değil
→ bu iki olay AYRIK DEĞİLDİR
Ayrık değildir.
Ayrık olaylarda toplama kuralı: İki olay ayrıksa, birinin
veya diğerinin gerçekleşme olasılığı, olasılıkların toplamına eşittir.
A ve B ayrık ise: P(A veya B) = P(A) + P(B)
Bir zar atıldığında tek sayı veya 4 gelme olasılığı kaçtır?
bu iki olay ayrık (ortak çıktı yok)
P(tek) = 3/6 = 1/2
P(4) = 1/6
P(tek veya 4) = 3/6 + 1/6
= 4/6
= 2/3
doğrudan sayarak kontrol:
{1, 3, 5} ∪ {4} = {1, 3, 4, 5} → 4 çıktı
4/6 = 2/3 ✓
2/3
Ayrık olmayan olaylarda olasılıkları doğrudan toplama. "Tek veya asal" olasılığı 3/6 + 3/6 = 1 değildir; çünkü 3 ve 5 iki kez sayılır. Doğrusu: {1, 3, 5} ∪ {2, 3, 5} = {1, 2, 3, 5}, yani 4 çıktı, olasılık 4/6 = 2/3. Ayrık olmayan olaylarda çıktıları saymak en güvenli yol.
5. İki zar atma
İki zar atıldığında örnek uzay 6 · 6 = 36 çıktıdan oluşur. Toplam soruları için istenen toplamı veren çiftleri saymak yeter.
İki zar atıldığında üst yüzlerdeki sayıların toplamının 7 olma olasılığı kaçtır?
örnek uzay = 6 · 6 = 36 çıktı
toplamı 7 yapan çiftler:
(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)
→ 6 çıktı
P(toplam 7) = 6/36 = 1/6
1/6 — 7, iki zarda en olası toplamdır.
İki zar atıldığında toplamın 9 olma olasılığı kaçtır?
toplamı 9 yapan çiftler:
(3,6) (4,5) (5,4) (6,3)
→ 4 çıktı
P(toplam 9) = 4/36 = 1/9
1/9
İki zar atıldığında her iki zarın da çift gelme olasılığı kaçtır?
birinci zar çift: {2, 4, 6} → 3 seçenek
ikinci zar çift: {2, 4, 6} → 3 seçenek
istenen çıktı sayısı = 3 · 3 = 9
P = 9/36 = 1/4
1/4
6. Sınavda nasıl sorulur?
- Torba soruları: Renkli bilye sayıları verilir, olasılık istenir. Toplamı doğru bulmak her şeyi belirliyor.
- Tümleyen soruları: "En az bir" veya "hiç" ifadesi görürsen 1'den çıkarma yöntemini kullan.
- Ayrık olma sorgusu: İki olay verilir, ayrık olup olmadığı sorulur. Kesişimi yazmak yeterli.
- İki zar ve toplam: Payda 36'dır; istenen toplamı veren çiftleri listeleyerek saymak en güvenli yöntem.
7. Sık yapılan hatalar
- Torbada toplamı yanlış bulmak. Payda tüm bilye sayısıdır; renkleri toplaman gerekir.
- 1'i asal sanmak. 1 asal değildir; zar için asallar {2, 3, 5}'tir.
- "4'ten büyük" ile "4 ve daha büyük"ü karıştırmak. Birincisinde 4 dâhil değildir.
- Ayrık olmayan olayların olasılıklarını toplamak. Ortak çıktılar iki kez sayılır; bu yanlıştır.
- İki zarda paydayı 12 sanmak. Doğru payda 6 · 6 = 36'dır.
- Olasılığı 1'den büyük bulmak. Sonuç 1'i geçtiyse mutlaka hata yapmışsın demektir.
8. 8. sınıfta bu nereye bağlanıyor?
Bu konu LGS'de doğrudan sorulmuyor; ama 8. sınıfta olasılık doğrudan bunun devamıdır. 8. sınıfta eklenen şey bağımlı ve bağımsız olaylar ile birden fazla olayın birlikte gerçekleşme olasılığı. Örnek uzayı doğru yazamayan öğrenci, orada hiç ilerleyemez.
7'de tek olay, 8'de birlikte olasılık.
torba: 4 kırmızı, 6 mavi, 5 yeşil (toplam 15)
7. sınıf: bir bilye çekilir
P(mavi) = 6/15 = 2/5
8. sınıf: iki bilye çekilir, ilki geri atılır (bağımsız)
P(ikisi de mavi) = (6/15) · (6/15)
= (2/5) · (2/5)
= 4/25
İkinci adım eklendi ama tek bilye olasılığını bulmak yine ilk iş.
9. Kendini test et
- Bir zar atıldığında asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
- Bir zar atıldığında 4'ten büyük gelmeme olasılığı kaçtır?
- 4 kırmızı, 6 mavi, 5 yeşil bilyeli torbadan mavi çekme olasılığı kaçtır?
- Aynı torbadan kırmızı olmayan bir bilye çekme olasılığı kaçtır?
- İki zar atıldığında toplamın 9 olma olasılığı kaçtır?
- Bir para iki kez atıldığında en az bir yazı gelme olasılığı kaçtır?
Cevapları göster
1) örnek uzay 6 çıktı
asallar {2, 3, 5} → 3 çıktı
P = 3/6 = 1/2
2) P(4'ten büyük) = 2/6 = 1/3
tümleyen: 1 − 1/3 = 2/3
kontrol: {1,2,3,4} → 4/6 = 2/3 ✓
3) toplam = 4 + 6 + 5 = 15
P(mavi) = 6/15 = 2/5
4) P(kırmızı) = 4/15
P(kırmızı değil) = 1 − 4/15 = 11/15
kontrol: 6 + 5 = 11 → 11/15 ✓
5) örnek uzay 36 çıktı
toplam 9: (3,6)(4,5)(5,4)(6,3) → 4 çıktı
P = 4/36 = 1/9
6) örnek uzay {YY, YT, TY, TT} → 4 çıktı
tümleyen "hiç yazı yok" = {TT} → 1/4
P = 1 − 1/4 = 3/4
Sık sorulan sorular
Örnek uzay nedir?
Bir deneyin tüm olası sonuçlarının kümesidir. Zar atmada {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere 6 çıktı, iki zar atmada 6 · 6 = 36 çıktı vardır.
Olasılık 1'den büyük olabilir mi?
Olamaz. Her olasılık değeri 0 ile 1 arasındadır; 0 imkânsız olayı, 1 kesin olayı gösterir. 1'den büyük bir sonuç bulduysan hesapta hata vardır.
Tümleyen olay ne zaman kullanılır?
Soruda "en az bir", "hiç" veya "... değil" ifadeleri varsa. İstenmeyen durumun olasılığını bulup 1'den çıkarmak, tek tek saymaktan çok daha hızlıdır.
Ayrık olaylarda olasılıklar toplanır mı?
Evet, ayrık olaylarda P(A veya B) = P(A) + P(B) yazılabilir. Ama olaylar ayrık değilse ortak çıktılar iki kez sayılacağı için bu toplama yanlış sonuç verir.
Konuyu öğrendin. Şimdi soru çöz.
Olasılıkta örnek uzayı hızlı yazmak, ancak bol soru çözerek oturuyor. Net Up'ı ücretsiz indir: seviyene göre soru gelir, yanlışların hata defterine düşer, çözünce silinir. Türkçe ve Matematik'te binlerce soru, günlük seri ve lig — hepsi bedava.
Konu listesine dön
7. Sınıf Matematik — Tüm Konular
→
Net Up
