Net UpÇarpanlar ve Katlar, 8. sınıf matematiğin ilk ünitesi ve yılın geri kalanının temeli. Kareköklü ifadeler, cebirsel ifadeler, hatta olasılık sorularının bir kısmı bu konudaki asal çarpanlara ayırma becerisine dayanıyor. İyi haber: konu kısa ve kalıpları belli.
1. Çarpan ve kat nedir?
Çarpan (bölen): Bir sayıyı kalansız bölen sayılardır. 12'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Kat: Bir sayının tam sayı katlarıdır. 12'nin katları: 12, 24, 36, 48, …
İkisi birbirinin tersi gibi düşünülebilir: 3, 12'nin çarpanıdır; 12 de 3'ün katıdır. Bir sayının çarpanları sonludur, katları ise sonsuzdur.
Asal sayı
1 ve kendisi dışında çarpanı olmayan, 1'den büyük sayılara asal sayı denir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
2. Asal çarpanlara ayırma
Bu konunun kalbi burası. Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak, onu asal sayıların çarpımı olarak yazmaktır. Yöntem: sayıyı bölebildiğin en küçük asal sayıya böl, bölünmeyene kadar devam et, sonra bir sonraki asala geç.
Kontrol: 8 · 9 · 5 = 360 ✔
Sayıyı tanıdığın parçalara bölmek (18 ve 100) bölme tablosundan hızlıdır. 100 = 2²·5² ve 18 = 2·3² olduğunu bir kez öğrenince çok işine yarar.
3. Çarpan sayısını bulma
"144'ün kaç tane pozitif tam sayı böleni vardır?" tipi sorular LGS'de doğrudan çıkar ve tek kuralı var:
İstersen kontrol et: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84 → 12 tane ✔
Neden +1 ekliyoruz?
Çünkü her asal çarpanı sıfır kez de kullanabilirsin. 2³ için 2'yi 0, 1, 2 veya 3 kez kullanabilirsin — bu 4 seçenek demektir. Seçenekler çarpılınca toplam çarpan sayısı çıkar. Mantığını bilirsen kuralı asla karıştırmazsın.
4. EBOB — En Büyük Ortak Bölen
5. EKOK — En Küçük Ortak Kat
Üç sayıda da aynı mantık: her asalın en büyük üssünü al.
6. EBOB × EKOK ilişkisi
Bu ilişki, soruda EBOB veya EKOK'tan biri verilip diğeri sorulduğunda doğrudan işine yarar.
7. LGS problem tipleri
Sorunun EBOB mu EKOK mu istediğini anlamak, işin yarısı. Kalıp şu:
| Soruda geçen ifadeler | Kullanılan |
|---|---|
| Bölmek, paylaştırmak, eşit parçalara ayırmak, en büyük / en fazla | EBOB |
| Tekrar eden olay, aynı anda olma, birlikte başlama, en az / en küçük | EKOK |
Tip 1 — Eşit parçalara ayırma (EBOB)
Not: Soru "bir parça kaç cm" diyorsa EBOB'un kendisi cevaptır; "kaç parça" diyorsa bölüp toplaman gerekir. İki soru da aynı cümlede sorulabilir.
Tip 2 — Aynı anda tekrar (EKOK)
Tip 3 — Tam kareye / tam küpe tamamlama
Bir sayının tam kare olması için asal çarpanlarının bütün üsleri çift olmalıdır; tam küp için hepsi 3'ün katı olmalıdır.
Tip 4 — Kalanlı bölme (EKOK + kalan)
Mantık: EKOK üç sayıya da tam bölünür; 1 fazlası da hepsinde 1 kalan verir.
8. Sık yapılan hatalar
- EBOB ile EKOK'u karıştırmak. Kontrol: EBOB sayılardan büyük çıkamaz, EKOK küçük çıkamaz.
- Çarpan sayısında +1'i unutmak. 2³ için 3 değil 4 seçenek var.
- 1'i asal saymak. 1 asal değildir.
- EBOB'da ortak olmayan asalı almak. EBOB yalnızca ortak asalları kullanır; EKOK hepsini alır.
- EBOB×EKOK kuralını üç sayıya uygulamak. Yalnızca iki sayı için geçerli.
- "Kaç parça" ile "bir parça kaç cm" sorularını karıştırmak.
9. Kendini test et
- 1800 sayısını asal çarpanlarına ayırınız.
- 36'nın kaç tane pozitif tam sayı çarpanı vardır?
- EBOB(90, 150) = ?
- EKOK(15, 20) = ?
- 1800 en küçük hangi sayıyla çarpılırsa tam kare olur?
- 36, 60 ve 84 sayılarının EBOB'u kaçtır?
Cevapları göster
Çözümlü örnek sorular
Aşağıdaki sorular Net Up uygulamasının soru havuzundan alınmıştır; kolaydan zora doğru sıralıdır. Her birinin adım adım çözümü de birlikte verilmiştir.
12 sayısının asal çarpanlarına ayrılması hangisidir?
- A) 2x6
- B) 4x3
- C) 3x4
- D) 2²x3
Çözümü gör
Asal çarpanlara ayırma yöntemi: Bir sayıyı en küçük asal olan 2'den başlayarak böl; bölünemiyorsa bir sonraki asale geç.
12 ÷ 2 = 6
6 ÷ 2 = 3
3 ÷ 3 = 1
Tüm bölenler toplandığında: 2 × 2 × 3 = 22 × 3
Dikkat: 2×6 veya 3×4 seçenekleri doğru değil — çünkü 6 ve 4 asal sayı değil, çarpanlara ayırma henüz bitmemiş sayılır!
12 sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı kaçtır?
- A) 16
- B) 28
- C) 5
- D) 6
Çözümü gör
Adım adım:
→ 12'yi bölen sayıları küçükten büyüğe yazalım: 1, 2, 3, 4, 6, 12
→ Bölenleri bulmanın kolay yolu çiftler hâlinde ilerlemektir: 1×12, 2×6, 3×4
→ Bu çiftlerden 6 farklı bölen elde edilir.
→ Toplam: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28
Dikkat: "Bölenlerin toplamı" ile "asal çarpanların toplamı" farklı şeylerdir. 12 = 2² × 3 olduğundan asal çarpanlarının toplamı 2 + 3 = 5'tir.
İki pozitif tam sayının EKOK'u 36, EBOB'u 6'dır. Bu iki sayının toplamı en fazla kaç olabilir?
- A) 60
- B) 78
- C) 90
- D) 42
Çözümü gör
EBOB verildiğinde sayıları nasıl yazarız?
EBOB = 6 olduğuna göre iki sayı 6a ve 6b biçimindedir; burada a ile b aralarında asaldır.
EKOK'u kullan:
EKOK = 6 × a × b = 36 → a × b = 6
Aralarında asal (a, b) çiftlerini listele:
→ (1, 6): sayılar 6 ve 36 → toplam = 42
→ (2, 3): sayılar 12 ve 18 → toplam = 30
(3, 2) ve (6, 1) aynı çiftlerin sırası değişmiş hâlidir, yeni toplam vermez.
En büyük toplam 42'dir. ✓ Doğru cevap D.
Kural: EBOB verildiğinde sayıları EBOB'un katı olarak yaz; kalan çarpanlar aralarında asal olmak zorundadır. Toplamı büyütmek için çarpanları birbirinden en uzak seç (1 ve 6), küçültmek için en yakın seç (2 ve 3).
Sık sorulan sorular
EBOB mu EKOK mu kullanacağımı nasıl anlarım?
Soruda bölmek, paylaştırmak, eşit parçaya ayırmak, en büyük geçiyorsa EBOB; tekrar eden olay, aynı anda, en az geçiyorsa EKOK.
Aralarında asal sayılar ikisi de asal olmak zorunda mı?
Hayır. 8 ve 15 aralarında asaldır ama ikisi de asal sayı değildir. Önemli olan ortak çarpanlarının olmaması.
Bir sayının çarpan sayısı tek olabilir mi?
Evet — ve bu yalnızca tam kare sayılarda olur. Örnek: 36'nın 9 çarpanı vardır. Çünkü tam karelerde tüm üsler çift, +1 eklenince hepsi tek sayı olur ve tek sayıların çarpımı tektir.
Konuyu öğrendin. Şimdi soru çöz.
Konu anlatımı başlangıç; net asıl her gün soru çözmekten geliyor. Net Up'ta seviyene göre soru gelir, yanlışların otomatik hata defterine düşer, çözünce silinir. Günde on dakika yeter. Türkçe ve Matematik ücretsiz.
