Bu konuda dört formül var ve hepsi birkaç dakikada öğrenilir; zorluk formülü doğru ölçüyle kullanmakta. Yamukta yan kenarı yükseklik sanmak, dairede çapı yarıçap yerine koymak — kaybedilen puanların neredeyse tamamı bu iki hatadan geliyor. Her örnekte hangi ölçünün nereye girdiğini adım adım göstereceğiz.
1. Formüller tek bakışta
| Şekil | Alan formülü | Açıklama |
|---|
| Eşkenar dörtgen | (e · f) / 2 | e ve f köşegen uzunlukları |
| Yamuk | (a + c) · h / 2 | a ve c paralel kenarlar, h yükseklik |
| Daire | π · r² | r yarıçap |
| Daire dilimi | π · r² · α / 360 | α merkez açı (derece) |
Çevre formülleri de yanında dursun: Dairenin çevresi 2πr, daire diliminin yay uzunluğu 2πr · α/360'tır. Alan formülünde r², çevre formülünde r tek kuvvette. Bu ayrım, karıştırmayı önleyen en pratik kontrol.
2. Eşkenar dörtgenin alanı
Eşkenar dörtgen: Dört kenarı da eşit olan paralelkenardır. Köşegenleri birbirini
dik olarak ve
ortalayarak keser.
Alan = (köşegen · köşegen) / 2 = (e · f) / 2
Köşegenleri 12 cm ve 16 cm olan eşkenar dörtgenin alanı kaç cm²'dir?
Alan = (e · f) / 2
= (12 · 16) / 2
= 192 / 2
= 96 cm²
96 cm²
Aynı eşkenar dörtgenin çevresi kaç cm'dir?
köşegenler birbirini ORTALAR ve DİKTİR
→ yarım köşegenler: 12/2 = 6 ve 16/2 = 8
bu yarım köşegenler bir dik üçgenin dik kenarları,
kenar ise hipotenüs:
6 - 8 - 10 üçgeni → kenar = 10 cm
çevre = 4 · 10 = 40 cm
40 cm — köşegenlerin dik kesişmesi, kenar uzunluğunu bulmayı mümkün kılıyor.
3. Yamuğun alanı
Yamuk: Yalnızca bir çift kenarı paralel olan dörtgendir. Paralel kenarlara
taban, aralarındaki dik uzaklığa
yükseklik denir.
Alan = (a + c) · h / 2
c
┌────────┐
╱│ │╲
╱ │ h │ ╲
╱ │ │ ╲
┌───┴────────┴───┐
a
Alan = (a + c) · h / 2
"iki tabanın toplamı çarpı yükseklik, bölü 2"
Paralel kenarları 12 cm ve 8 cm, yüksekliği 5 cm olan yamuğun alanı kaç cm²'dir?
Alan = (a + c) · h / 2
= (12 + 8) · 5 / 2
= 20 · 5 / 2
= 100 / 2
= 50 cm²
50 cm²
Alanı 42 cm², yüksekliği 6 cm olan yamuğun paralel kenarları toplamı kaç cm'dir?
(a + c) · h / 2 = 42
(a + c) · 6 / 2 = 42
(a + c) · 3 = 42
a + c = 14 cm
kontrol: 14 · 6 / 2 = 84 / 2 = 42 ✓
14 cm
Yükseklik, yan kenar değildir. Yamuk alanında kullanılan h, iki paralel kenar arasındaki dik uzaklıktır. Eğik duran yan kenarın uzunluğunu yükseklik yerine koymak, bu konudaki en yaygın hata.
4. Dairenin alanı ve çevresi
Daire: Merkeze eşit uzaklıktaki noktaların sınırladığı bölgedir. Merkeze olan uzaklık
yarıçap (r), iki katı ise
çaptır.
Alan = π · r² Çevre = 2 · π · r
Sorularda π yerine genelde 3 veya 22/7 verilir. Hangisi verildiyse onu kullan — "π yerine 3 alınız" yazıyorsa 3,14 kullanmak yanlış cevaba götürür.
Yarıçapı 5 cm olan dairenin alanı ve çevresi kaçtır? (π = 3)
Alan = π · r²
= 3 · 5²
= 3 · 25
= 75 cm²
Çevre = 2 · π · r
= 2 · 3 · 5
= 30 cm
Alan 75 cm² · Çevre 30 cm
Yarıçapı 7 cm olan dairenin alanı ve çevresi kaçtır? (π = 22/7)
Alan = (22/7) · 7²
= (22/7) · 49
= 22 · 7
= 154 cm²
Çevre = 2 · (22/7) · 7
= 2 · 22
= 44 cm
Alan 154 cm² · Çevre 44 cm — yarıçap 7'nin katı olduğunda π = 22/7 verilir, çünkü 7'ler sadeleşir.
Çap ile yarıçapı karıştırma. "Çapı 10 cm olan daire" ifadesinde r = 5'tir. Formüllerin hepsi yarıçapla yazılır; çap verildiğinde önce ikiye böl.
5. Daire diliminin alanı
Daire dilimi: İki yarıçap ile bir yayın sınırladığı bölgedir (pizza dilimi). Tam dairenin, merkez açının 360'a oranı kadar parçasıdır.
Dilim alanı = π · r² · α / 360
Yarıçapı 6 cm, merkez açısı 60° olan daire diliminin alanı ve yay uzunluğu kaçtır? (π = 3)
önce oranı bul:
60 / 360 = 1/6 → tam dairenin altıda biri
dilim alanı = π · r² · α/360
= 3 · 36 · (1/6)
= 108 · (1/6)
= 18 cm²
yay uzunluğu = 2 · π · r · α/360
= 2 · 3 · 6 · (1/6)
= 36 · (1/6)
= 6 cm
kontrol: tam daire alanı = 3 · 36 = 108 cm²
108 / 6 = 18 cm² ✓
Alan 18 cm² · Yay 6 cm
Yarıçapı 10 cm, merkez açısı 72° olan daire diliminin alanı kaçtır? (π = 3)
72 / 360 = 1/5
alan = 3 · 10² · (1/5)
= 3 · 100 · (1/5)
= 300 / 5
= 60 cm²
60 cm²
Yarıçapı 6 cm olan bir daire diliminin alanı 27 cm² ise merkez açısı kaç derecedir? (π = 3)
π · r² · α/360 = 27
3 · 36 · α/360 = 27
108 · α/360 = 27
α/360 = 27/108 = 1/4
α = 360/4
α = 90°
90° — yani çeyrek daire. Kontrol: 108 / 4 = 27 cm² ✓
Sık çıkan özel oranlar: 90° → 1/4 daire · 120° → 1/3 daire · 60° → 1/6 daire · 45° → 1/8 daire · 72° → 1/5 daire. Bu oranları tanırsan bölme yapmadan sonucu bulursun.
6. Daire halkası (iki daire arası)
Büyük dairenin alanından küçük dairenin alanı çıkarılır.
Yarıçapları 10 cm ve 6 cm olan iç içe iki dairenin arasında kalan bölgenin alanı kaçtır? (π = 3)
büyük daire = 3 · 10² = 3 · 100 = 300 cm²
küçük daire = 3 · 6² = 3 · 36 = 108 cm²
halka alanı = 300 − 108 = 192 cm²
kısa yol: 3 · (100 − 36) = 3 · 64 = 192 cm²
192 cm²
Yarıçapı 8 cm olan çeyrek dairenin alanı kaçtır? (π = 3)
çeyrek daire → 90° → 1/4
alan = 3 · 8² / 4
= 3 · 64 / 4
= 192 / 4
= 48 cm²
48 cm²
7. Sınavda nasıl sorulur?
- Doğrudan formül: Ölçüler verilir, alan istenir. Kaybın kaynağı π değerini yanlış almak.
- Tersten soru: Alan verilir, yükseklik veya merkez açı sorulur. Denklem kurulur.
- Bileşik şekil: Dikdörtgen artı yarım daire gibi şekiller. Parçalara ayır, ayrı ayrı hesapla, topla.
- Taralı alan: Büyük şekilden küçük şekil çıkarılır. Halka soruları bu tipin en sık hâli.
8. Sık yapılan hatalar
- Eşkenar dörtgende 2'ye bölmeyi unutmak. 12 · 16 = 192 değil; alan 96 cm².
- Yamukta yan kenarı yükseklik sanmak. h, paralel kenarlar arasındaki dik uzaklıktır.
- Çapı yarıçap yerine koymak. Çap 10 ise r = 5'tir; r² = 25 olur, 100 değil.
- Verilen π değerini kullanmamak. "π = 3 alınız" diyorsa 3,14 kullanma.
- Dilim alanı ile yay uzunluğunu karıştırmak. Alanda r², yayda r tek kuvvette.
- Birimi karıştırmak. Alan cm², çevre ve yay uzunluğu cm cinsindendir.
9. 8. sınıfta bu nereye bağlanıyor?
Bu konu LGS'de doğrudan sorulmuyor; ama 8. sınıfta geometrik cisimler bunun üzerine kuruluyor. Silindirin hacmi ve yüzey alanı, tamamen dairenin alanı ve çevresiyle yazılır. Daire alanını bilmeyen öğrenci silindir sorusuna hiç başlayamaz.
7'de daire, 8'de silindir.
r = 5 cm , h = 4 cm , π = 3
taban alanı = π · r² = 3 · 25 = 75 cm² ← 7. sınıf bilgisi
taban çevresi = 2πr = 2·3·5 = 30 cm ← 7. sınıf bilgisi
silindir hacmi = taban alanı · h
= 75 · 4 = 300 cm³
yan yüz alanı = taban çevresi · h
= 30 · 4 = 120 cm²
8. sınıfta öğrendiğin tek yeni şey, bu iki değeri yükseklikle çarpmak.
10. Kendini test et
- Köşegenleri 12 cm ve 16 cm olan eşkenar dörtgenin alanı kaçtır?
- Aynı eşkenar dörtgenin çevresi kaçtır?
- Paralel kenarları 12 cm ve 8 cm, yüksekliği 5 cm olan yamuğun alanı kaçtır?
- Yarıçapı 7 cm olan dairenin alanı ve çevresi kaçtır? (π = 22/7)
- Yarıçapı 6 cm, merkez açısı 60° olan daire diliminin alanı kaçtır? (π = 3)
- Yarıçapları 10 cm ve 6 cm olan iç içe iki daire arasındaki alan kaçtır? (π = 3)
Cevapları göster
1) (12 · 16) / 2 = 192 / 2 = 96 cm²
2) yarım köşegenler 6 ve 8
kenar = 10 cm (6-8-10 dik üçgeni)
çevre = 4 · 10 = 40 cm
3) (12 + 8) · 5 / 2 = 100 / 2 = 50 cm²
4) Alan = (22/7) · 49 = 154 cm²
Çevre = 2 · (22/7) · 7 = 44 cm
5) 60/360 = 1/6
3 · 36 · (1/6) = 108/6 = 18 cm²
6) 3 · (100 − 36) = 3 · 64 = 192 cm²
Sık sorulan sorular
Eşkenar dörtgenin alanı neden köşegen çarpımının yarısı?
Çünkü köşegenler birbirini dik olarak keser ve eşkenar dörtgeni dört eş dik üçgene ayırır. Bu dört üçgenin toplam alanı, köşegenlerin çarpımının yarısına eşit çıkar.
Yamukta yükseklik hangi uzunluktur?
İki paralel kenar arasındaki dik uzaklıktır. Yan kenarlar eğik olduğu için yükseklik değildir; şekilde yüksekliği gösteren dik işareti aranır.
π yerine 3 mü, 22/7 mi kullanılır?
Soruda hangisi verildiyse o kullanılır. Yarıçap 7'nin katıysa genelde 22/7 verilir, çünkü sadeleşme olur. Soru bir değer vermemişse 3 almak yaygın kabuldür.
Daire diliminin alanı ile yay uzunluğu nasıl ayırt edilir?
Alan formülünde yarıçap karelidir (πr² · α/360), yay uzunluğunda tek kuvvettedir (2πr · α/360). Alan cm², yay uzunluğu cm cinsindendir.
Konuyu öğrendin. Şimdi soru çöz.
Alan formüllerinde doğru ölçüyü seçmek, ancak çok soru görerek yerleşiyor. Net Up'ı ücretsiz indir: seviyene göre soru gelir, yanlışların hata defterine düşer, çözünce silinir. Türkçe ve Matematik'te binlerce soru, günlük seri ve lig — hepsi bedava.
Sonraki konu
Üçgende Yardımcı Elemanlar
→
Net Up
