Net UpBu ünite formül yoğun görünse de aslında iki fikirden oluşuyor: hacim = taban alanı × yükseklik (tepesi olanlarda üçte biri), yüzey alanı = tabanlar + yan yüz. Taban alanı hesapları üçgenler konusundan geliyor.
① Prizma ve silindirde: Hacim = Taban alanı × Yükseklik
② Piramit ve konide: Hacim = (Taban alanı × Yükseklik) / 3
1. Dik prizmalar
Neden 2(ab+ac+bc)? Dikdörtgen prizmanın 6 yüzü var, karşılıklı yüzler eşit — yani 3 farklı yüz çifti. Her çiftin bir yüzünü hesaplayıp 2 ile çarpıyoruz.
2. Dik dairesel silindir
3. Piramit
4. Koni
Kritik ayrım: Hacimde yükseklik (h = 4), yan alanda ana doğru (ℓ = 5) kullanılır. Bu ikisini karıştırmak en sık hata.
5. Küre
Bu örnekte sayısal değerler tesadüfen eşit çıktı (36π) — ama birimleri farklı: biri cm³, diğeri cm². Sadece r = 3 için geçerli bir tesadüf.
6. Tüm formüller: tek tablo
| Cisim | Hacim | Yüzey alanı |
|---|---|---|
| Dikdörtgen prizma | a · b · c | 2(ab + ac + bc) |
| Küp | a³ | 6a² |
| Dik prizma | Taban × h | 2·Taban + Çevre·h |
| Silindir | π r² h | 2πr² + 2πrh |
| Piramit | Taban × h / 3 | Taban + Yan yüzler |
| Koni | π r² h / 3 | πr² + πrℓ |
| Küre | 4πr³ / 3 | 4πr² |
7. Boyut değişince hacim ne olur?
Neden fark var? Yarıçap formülde karesi olarak geçiyor, yükseklik ise tek başına. Bu yüzden yarıçap değişimi hacmi daha çok etkiler.
8. Sık yapılan hatalar
- Piramit ve konide 3'e bölmeyi unutmak. Tepesi olan cisimlerde her zaman /3 vardır.
- Konide ana doğru yerine yükseklik kullanmak. Yan alan πrℓ'dir, πrh değil.
- Yarıçap yerine çap kullanmak. Çap verilmişse önce 2'ye böl.
- Birim karıştırmak. Hacim cm³, alan cm², uzunluk cm. Cevabın birimi kontrol edilmeli.
- Yüzey alanında tabanı iki kez saymamak. Silindirde iki taban var: 2πr².
- "Kenar 2 kat → hacim 2 kat" demek. Tüm boyutlar 2 kat olursa hacim 8 kat olur.
9. Kendini test et
- Bir küpün bir ayrıtı 4 cm ise hacmi ve yüzey alanı kaçtır?
- Yarıçapı 5 cm, yüksekliği 6 cm olan silindirin hacmi kaç π cm³?
- Tabanı 9 cm² olan, yüksekliği 12 cm olan piramidin hacmi?
- Yarıçapı 6 cm, yüksekliği 8 cm olan koninin ana doğrusu kaç cm?
- Yarıçapı 2 cm olan kürenin yüzey alanı kaç π cm²?
- Bir küpün tüm ayrıtları 3 katına çıkarılırsa hacmi kaç kat olur?
Cevapları göster
Çözümlü örnek sorular
Aşağıdaki sorular Net Up uygulamasının soru havuzundan alınmıştır; kolaydan zora doğru sıralıdır. Her birinin adım adım çözümü de birlikte verilmiştir.
Yarıçapı 6 cm olan büyük küre ile yarıçapı 3 cm olan küçük küre aynı merkezlidir. Küçük küre büyük küreden çıkarılırsa kalan katının hacmi kaç cm³'tür? (π = 3)
- A) 108
- B) 648
- C) 864
- D) 756
Çözümü gör
Adım 1: Büyük küre hacmi (π = 3, r = 6)
→ V_büyük = (4/3) × 3 × 63 = 4 × 216 = 864 cm³
Adım 2: Küçük küre hacmi (r = 3)
→ V_küçük = (4/3) × 3 × 33 = 4 × 27 = 108 cm³
Adım 3: Kalan hacim
→ Kalan = 864 − 108 = 756 cm³
Adım 4: Seçenekleri kontrol et
✗ A (108): küçük küre hacmi
✗ B (648): yanlış
✓ C (756): 864 − 108 = 756 ✓
✗ D (864): büyük kürenin tamamı
Kural: Oyma sorularında → büyük − küçük
Bir koniyi tabanına dik, tepe noktasından geçen bir düzlemle kesince kesit şekli ne olur?
- A) İkizkenar üçgen
- B) Daire
- C) Dikdörtgen
- D) Kare
Çözümü gör
Koni, tepe noktasından geçen ve tabana dik bir düzlemle kesilirse:
→ Düzlem, koninin tepe noktasından inerek tabanı bir çap boyunca keser.
→ Oluşan kesit, tabanı 2r (taban çapı), yüksekliği h (koni yüksekliği) olan bir ikizkenar üçgendir.
→ Daire kesiti yalnızca tabana paralel kesilince oluşur; bu dik kesitte oluşmaz.
→ Dikdörtgen ve kare ise koninin hiçbir düzlem kesitinde oluşmaz.
→ Doğru: A (İkizkenar üçgen)
KAAN muharip uçağının dikdörtgen prizma biçimindeki iç yakıt deposunun boyutları: uzunluk 3 m, genişlik 0,8 m, yükseklik 0,5 m'dir. Depoya yakıt doldurulmakta olup 1 litre = 0,001 m³'tür. Deponun %60'ı dolduğunda içindeki yakıt kaç litredir?
- A) 720
- B) 72
- C) 1.200
- D) 7.200
Çözümü gör
→ Adım 1: Toplam hacim
V = 3 × 0,8 × 0,5 = 1,2 m³
→ Adım 2: %60 dolu
1,2 × 0,60 = 0,72 m³
→ Adım 3: Litreye çevir
0,72 ÷ 0,001 = 720 litre ✓
→ A yanlış: 0,72×100=72 (litre dönüşümü yanlış)
→ C yanlış: 1,2÷0,001=1200 (%60 uygulamadan)
→ D yanlış: 1,2 m³×6000=7200 (çarpım hatası)
Sık sorulan sorular
π yerine 3 alınmalı mı?
Soru söylerse alınır ("π = 3 alınız"). Söylemiyorsa cevabı π'li bırak — LGS seçeneklerinde genelde "90π" gibi ifadeler bulunur. Kendi kafana göre 3 veya 3,14 koymak yanlış seçeneğe götürebilir.
Formülleri ezberlemek yerine bir mantık var mı?
Var: prizma ve silindirde hacim "taban alanını yükseklik boyunca üst üste dizmek"tir. Piramit ve konide aynı kutunun üçte biri kadar yer kaplar. Küre formülleri tek gerçek ezber.
Konuyu öğrendin. Şimdi soru çöz.
Cisimlerde puan kaybı genelde formül değil dikkat hatasından oluyor — çap/yarıçap, /3, birim. Net Up'ta seviyene göre soru gelir, yanlışların hata defterine düşer, çözünce silinir. Türkçe ve Matematik ücretsiz.
