Ücretsiz indir
7. Sınıf Matematik › Rasyonel Sayılarla İşlemler

Rasyonel Sayılarla İşlemler

Kesirlerde dört işlem, işlem önceliği ve problem çözme — adım adım çözümlerle.

7. sınıf · Tema 1 Sayılar ve Nicelikler Üslü ifadelerin temeli

Rasyonel sayılarla işlemlerde kural sayısı az, ama karıştırma ihtimali yüksek: toplamada paydalar eşitlenir, çarpmada eşitlenmez, bölmede kesir ters çevrilir. Bu sayfada dört işlemi tek tek, sonra işlem önceliğini ve en çok puan kaybettiren kalanın kesri problemlerini çalışacağız.

Bu sayfada
  1. Toplama ve çıkarma
  2. Negatif kesirlerde işaret
  3. Çarpma
  4. Bölme
  5. İşlem önceliği
  6. Problem çözme
  7. Sınavda nasıl sorulur?
  8. Sık yapılan hatalar
  9. 8. sınıfta nereye bağlanıyor?
  10. Kendini test et

1. Toplama ve çıkarma

Kural: Paydalar eşitlenir, paylar toplanır veya çıkarılır. Paydalar toplanmaz.

Paydaları eşitlemek için EKOK (en küçük ortak kat) kullanılır. EKOK'u bulamadıysan paydaları çarpman da işini görür, sadece sonunda sadeleştirmen gerekir.

2/3 + 3/4 işleminin sonucu kaçtır?
EKOK(3, 4) = 12 2/3 = 8/12 (pay ve payda 4 ile çarpıldı) 3/4 = 9/12 (pay ve payda 3 ile çarpıldı) 8/12 + 9/12 = 17/12

Bileşik kesir çıktı, tam sayılı yazabiliriz: 17 ÷ 12 = 1 kalan 5. 17/12 = 1 tam 5/12

5/6 − 3/8 işleminin sonucu kaçtır?
EKOK(6, 8) = 24 5/6 = 20/24 3/8 = 9/24 20/24 − 9/24 = 11/24

11/24 — daha fazla sadeleşmez, çünkü 11 asal ve 24'ü bölmez.

En pahalı hata: 2/3 + 3/4 = 5/7 yazmak. Payları ve paydaları ayrı ayrı toplamak toplama kuralı değildir. Paydaları eşitlemeden tek bir adım bile ilerlemiyorsun.

2. Negatif kesirlerde işaret

İşaret kuralı tam sayılarda ne ise kesirlerde de aynıdır. Önce işaretini belirle, sonra sayıyı hesapla.

−3/4 + 5/6 − 1/2 işleminin sonucu kaçtır?
EKOK(4, 6, 2) = 12 −3/4 = −9/12 5/6 = 10/12 −1/2 = −6/12 −9/12 + 10/12 − 6/12 = (−9 + 10 − 6)/12 = −5/12

−5/12

3. Çarpma

Kural: Pay ile pay, payda ile payda çarpılır. Paydaları eşitlemeye gerek yoktur.
(a/b) · (c/d) = (a·c) / (b·d)
(−2/5) · (3/4) işleminin sonucu kaçtır?
işaret: (−) · (+) = (−) pay: 2 · 3 = 6 payda: 5 · 4 = 20 sonuç: −6/20 = −3/10 (2 ile sadeleşti)

−3/10

Zaman kazandıran alışkanlık: Çarpmadan önce çapraz sadeleştir. (−2/5)·(3/4) işleminde 2 ile 4'ü sadeleştirip (−1/5)·(3/2) = −3/10 elde ederdin. Büyük sayılarla boğuşmazsın.

4. Bölme

Kural: Bölen kesir ters çevrilir ve çarpma işlemine dönüşür.
(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) · (d/c)
(3/4) ÷ (−9/8) işleminin sonucu kaçtır?
bölen ters çevrilir: −9/8 → −8/9 (3/4) · (−8/9) çapraz sadeleştir: 3 ile 9 → 1 ve 3 4 ile 8 → 1 ve 2 (1/1) · (−2/3) = −2/3

−2/3

2 tam 1/4 sayısını 3/8'e bölelim.
önce bileşik kesir yap: 2 tam 1/4 = (2·4 + 1)/4 = 9/4 (9/4) ÷ (3/8) = (9/4) · (8/3) sadeleştir: 9 ile 3 → 3 ve 1 4 ile 8 → 1 ve 2 (3/1) · (2/1) = 6

6

Tam sayılı kesirle asla işlem yapma. 2 tam 1/4 ifadesini önce 9/4 yapmadan çarpma veya bölmeye girersen sonuç kesin yanlış olur. Bu, konudaki en yaygın kayıp noktası.

5. İşlem önceliği

Sıra: Parantez → Üs → Çarpma ve bölme (soldan sağa) → Toplama ve çıkarma (soldan sağa)
1/2 + (2/3) · (3/4) işleminin sonucu kaçtır?
önce çarpma: (2/3) · (3/4) = 6/12 = 1/2 sonra toplama: 1/2 + 1/2 = 1

1 — çarpmayı atlayıp soldan sağa gitseydin 1/2 + 2/3 = 7/6 ile başlayıp yanlış sonuca varırdın.

(−1/2)² + 1/4 işleminin sonucu kaçtır?
önce üs: (−1/2)² = (−1/2) · (−1/2) = 1/4 (üs çift → pozitif) sonra toplama: 1/4 + 1/4 = 2/4 = 1/2

1/2

(1/2 − 1/3) · 6 işleminin sonucu kaçtır?
önce parantez: 1/2 − 1/3 = 3/6 − 2/6 = 1/6 sonra çarpma: (1/6) · 6 = 1

1

6. Problem çözme

Rasyonel sayı problemlerinde tek soru şudur: kesir neyin kesri? "Kalanın 1/3'ü" ifadesinde kesir bütünün değil, kalanın kesridir.

Bir deponun 3/5'i su ile doludur. Bu suyun 1/4'ü kullanılırsa depoda başlangıca göre ne kadar su kalır?
kullanılan su = suyun 1/4'ü = (1/4) · (3/5) = 3/20 kalan su = 3/5 − 3/20 = 12/20 − 3/20 = 9/20

Depo hacminin 9/20'si kadar su kalır. Dikkat: 1/4 deponun değil, suyun kesriydi.

Yusuf parasının 2/5'i ile kitap, kalan parasının 1/3'ü ile kalem aldı. Geriye 120 TL kaldıysa başlangıçta kaç TL'si vardı?
kitaptan sonra kalan = 1 − 2/5 = 3/5 kaleme giden = (1/3) · (3/5) = 1/5 toplam harcanan = 2/5 + 1/5 = 3/5 geriye kalan = 1 − 3/5 = 2/5 2/5 → 120 TL 1/5 → 60 TL 5/5 → 300 TL

300 TL — kontrol: kitap 120 TL, kalem 60 TL, kalan 120 TL; toplam 300 TL.

7. Sınavda nasıl sorulur?

8. Sık yapılan hatalar

  • Toplamada paydaları toplamak. 2/3 + 3/4 ≠ 5/7. Paydalar eşitlenir, toplanmaz.
  • Çarpmada paydayı eşitlemeye çalışmak. Gereksiz iş; çarpmada paydalar doğrudan çarpılır.
  • Bölmede yanlış kesri ters çevirmek. Ters çevrilen bölendir (ikinci kesir), bölünen değil.
  • Tam sayılı kesri dönüştürmemek. 2 tam 1/4 ile doğrudan işlem yapılmaz, önce 9/4 olur.
  • İşlem önceliğini atlayıp soldan sağa gitmek. Çarpma her zaman toplamadan önce gelir.
  • Sonucu sadeleştirmeyi unutmak. −6/20 doğru ama istenen cevap −3/10'dur.

9. 8. sınıfta bu nereye bağlanıyor?

Bu konu LGS'de doğrudan sorulmuyor; ama 8. sınıfta üslü ifadeler bunun üzerine kuruluyor. Negatif üs kuralının tamamı kesirle işlem yapmaktan ibarettir: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 ve (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4. Kesirlerde çarpma-bölme refleksin yoksa üslü ifadelerde her soruda takılırsın.

7'de kesir işlemi, 8'de üslü ifade.
2⁻³ + 3⁻¹ = 1/8 + 1/3 EKOK(8, 3) = 24 = 3/24 + 8/24 = 11/24

Gördüğün gibi 8. sınıf sorusunun tamamı, bu sayfanın 1. bölümündeki paydaları eşitleme işlemi.

10. Kendini test et

  1. 2/3 + 3/4 = ?
  2. 5/6 − 3/8 = ?
  3. (−2/5) · (3/4) = ?
  4. (3/4) ÷ (−9/8) = ?
  5. 1/2 + (2/3) · (3/4) = ?
  6. −3/4 + 5/6 − 1/2 = ?
Cevapları göster
1) EKOK(3,4) = 12 8/12 + 9/12 = 17/12 = 1 tam 5/12 2) EKOK(6,8) = 24 20/24 − 9/24 = 11/24 3) −(2·3)/(5·4) = −6/20 = −3/10 4) (3/4) · (−8/9) = −24/36 = −2/3 5) önce çarpma: (2/3)·(3/4) = 1/2 sonra: 1/2 + 1/2 = 1 6) EKOK(4,6,2) = 12 −9/12 + 10/12 − 6/12 = −5/12

Sık sorulan sorular

Kesirlerde toplama ile çarpma kuralı neden farklı?

Toplamada aynı büyüklükteki parçaları sayarsın, bu yüzden parçaların eşit olması gerekir — yani paydalar eşitlenir. Çarpmada ise "parçanın parçasını" alırsın, bu işlem paydaların doğrudan çarpılmasıyla sonuçlanır.

Tam sayılı kesir nasıl bileşik kesre çevrilir?

Tam kısım payda ile çarpılır, paya eklenir, payda aynı kalır. 2 tam 1/4 = (2·4 + 1)/4 = 9/4. Çarpma ve bölmede bu adım zorunludur.

Negatif kesirde işaret nasıl belirlenir?

Çarpma ve bölmede eksi sayısını say: eksi sayısı tek ise sonuç negatif, çift ise pozitiftir. (−2/5)·(−3/4) işleminde iki eksi var, sonuç pozitiftir: 3/10.

İşlem önceliğinde parantez içindeki üs mü önce gelir?

Parantez içi kendi başına bir işlemdir ve içinde de aynı öncelik sırası geçerlidir. Yani parantezin içinde önce üs, sonra çarpma, en son toplama yapılır; parantez bittikten sonra dışarıdaki işleme geçilir.

Konuyu öğrendin. Şimdi soru çöz.

Kesir işlemlerinde hata, bilgi eksiğinden değil dikkatsizlikten gelir — bu da tekrarla düzelir. Net Up'ı ücretsiz indir: seviyene göre soru gelir, yanlışların hata defterine düşer, çözünce silinir. Türkçe ve Matematik'te binlerce soru, günlük seri ve lig — hepsi bedava.

App Store'dan indirin Google Play'den indirin
Sonraki konu Oran ve Orantı →