Tam kare özdeşliği nedir?

(a + b)² = a² + 2ab + b² ve (a − b)² = a² − 2ab + b² özdeşliklerine tam kare denir. Ortadaki 2ab terimi en sık unutulan kısımdır.

İki kare farkı nasıl çarpanlara ayrılır?

a² − b² = (a − b)(a + b) biçiminde ayrılır. Örnek: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Bu özdeşlik hem çarpanlara ayırmada hem zihinden hızlı çarpmada kullanılır.

Çarpanlara ayırma yöntemleri nelerdir?

Ortak çarpan parantezine alma, iki kare farkı, tam kare ve orta terimi ayırma (x² + bx + c biçiminde çarpımı c, toplamı b olan iki sayı bulma) yöntemleri kullanılır.

x² + 5x + 6 ifadesi nasıl çarpanlara ayrılır?

Çarpımı 6, toplamı 5 olan iki sayı aranır: 2 ve 3. Buna göre ifade (x + 2)(x + 3) biçiminde yazılır.

Özdeşlik ile denklem arasındaki fark nedir?

Özdeşlik her değer için doğrudur; denklem ise yalnızca belirli değerler için doğrudur. (a+b)² = a² + 2ab + b² her a ve b için geçerlidir, bu yüzden özdeşliktir.

Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler — 8. Sınıf

Bu ünite iki işe yarıyor: çarpanlara ayırma (denklem çözerken şart) ve zihinden hızlı hesap (sınavda süre kazandırır). İkinci kullanımı çoğu öğrenci fark etmez — oysa 102 × 98 gibi bir çarpımı 8 saniyede bitirmenin yolu burada.

Özdeşlik nedir? Her değer için doğru olan eşitliktir. (a+b)² = a² + 2ab + b² eşitliği her a ve b için geçerlidir. Denklem ise yalnızca belirli değerlerde doğrudur (x + 2 = 5 → sadece x = 3).

Bu sayfada

Tam kare özdeşliği
İki kare farkı
Özdeşlikle hızlı hesap
Ortak çarpan parantezi
Orta terimi ayırma
Hangi yöntemi seçmeli?
Sık yapılan hatalar
Kendini test et

1. Tam kare özdeşliği

(a + b)² = a² + 2ab + b² (a − b)² = a² − 2ab + b²

(x + 3)² açılımı

(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3² = x² + 6x + 9

Kontrol (x = 1): (1+3)² = 16 · 1 + 6 + 9 = 16 ✔

(2x − 5)² açılımı

(2x − 5)² = (2x)² − 2·(2x)·5 + 5² = 4x² − 20x + 25

Dikkat: (2x)² = 4x², sadece 2x² değil. Katsayı da kareye girer.

Konunun en sık hatası: ortadaki 2ab terimini unutmak.

(a + b)² = a² + b² ✘ YANLIŞ (a + b)² = a² + 2ab + b² ✔ DOĞRU

Sayıyla test et: (2+3)² = 25, ama 2² + 3² = 13. Eşit değil.

2. İki kare farkı

a² − b² = (a − b)(a + b)

Bu özdeşlik iki yönde kullanılır: açmak ve çarpanlara ayırmak.

x² − 9 ifadesini çarpanlara ayırınız.

x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3)

Kontrol (x = 5): 25 − 9 = 16 · (5−3)(5+3) = 2·8 = 16 ✔

4x² − 25 = ?

4x² − 25 = (2x)² − 5² = (2x − 5)(2x + 5)

Nasıl tanınır? İki terim var, ikisi de tam kare ve aralarında eksi var. Toplam olsaydı (a² + b²) çarpanlara ayrılamazdı.

3. Özdeşlikle hızlı hesap (LGS'de süre kazandırır)

102 × 98 = ?

İki sayı da 100'e eşit uzaklıkta → iki kare farkı:

102 × 98 = (100 + 2)(100 − 2) = 100² − 2² = 10.000 − 4 = 9.996

Alt alta çarpma ~45 saniye, bu yol ~8 saniye.

103² = ?

103² = (100 + 3)² = 10.000 + 600 + 9 = 10.609

63² − 37² = ?

= (63 − 37)(63 + 37) = 26 × 100 = 2.600

İki kareyi tek tek hesaplamak yerine özdeşliği ters yönde kullandık.

4. Ortak çarpan parantezine alma

İlk bakılacak yöntem: Bütün terimlerde ortak olan çarpanı dışarı al.

Örnekler.

3x + 6 = 3(x + 2) x² + 5x = x(x + 5) 4x² − 8x = 4x(x − 2) 2x² + 6x + 4 = 2(x² + 3x + 2) = 2(x+1)(x+2)

Son örnekte iki yöntem üst üste kullanıldı: önce ortak çarpan, sonra orta terimi ayırma.

5. Orta terimi ayırma

x² + bx + c biçimi için: çarpımı c, toplamı b olan iki sayı bul.

x² + 5x + 6 ifadesini çarpanlara ayırınız.

Çarpımı 6, toplamı 5 olan iki sayı: 2 ve 3 x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Kontrol (x = 4): 16 + 20 + 6 = 42 · (4+2)(4+3) = 6·7 = 42 ✔

x² − 7x + 12 = ?

Çarpımı 12, toplamı −7 → −3 ve −4 = (x − 3)(x − 4)

x² + 2x − 8 = ?

Çarpımı −8, toplamı +2 → +4 ve −2 = (x + 4)(x − 2)

İşaret ipucu: c negatifse iki sayının işaretleri farklıdır; c pozitifse aynıdır (ikisi de b'nin işaretini alır).

6. Hangi yöntemi seçmeli?

Sırayla kontrol et:

1. Ortak çarpan var mı? → önce onu al 2. İki terim ve arada eksi? → iki kare farkı 3. Üç terim, baş ve son tam kare, orta terim 2ab? → tam kare 4. Üç terim, x² + bx + c? → orta terimi ayır

Gördüğün	Yöntem	Örnek
Her terimde ortak çarpan	Parantezine al	3x + 6 = 3(x+2)
2 terim, tam kare, eksi	İki kare farkı	x² − 16 = (x−4)(x+4)
3 terim, ortada 2ab	Tam kare	x² + 6x + 9 = (x+3)²
3 terim, genel hâl	Orta terimi ayır	x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3)

7. Sık yapılan hatalar

2ab terimini unutmak. (a+b)² üç terimlidir.
Katsayıyı kareye almamak. (2x)² = 4x², 2x² değil.
a² + b²'yi çarpanlara ayırmaya çalışmak. İki kare toplamı ayrılamaz; yalnızca fark ayrılır.
Ortak çarpanı atlayıp doğrudan uzun yola girmek. Önce ortak çarpana bak.
İşaretleri karıştırmak. c negatifse iki sayının işareti farklıdır.
Özdeşliği yalnızca harfli ifadelerde kullanmak. Sayılarda da işe yarar: 102×98.

8. Kendini test et

(x + 4)² açılımını yazınız.
x² − 25 ifadesini çarpanlara ayırınız.
x² + 7x + 10 = ?
x² − 3x − 10 = ?
2x² + 8x ifadesini çarpanlara ayırınız.
98 × 102 işlemini özdeşlikle hesaplayınız.
(3x − 2)² açılımını yazınız.

Cevapları göster

1) x² + 8x + 16 2) (x − 5)(x + 5) 3) çarpımı 10, toplamı 7 → 2 ve 5 = (x + 2)(x + 5) 4) çarpımı −10, toplamı −3 → −5 ve +2 = (x − 5)(x + 2) 5) ortak çarpan 2x → 2x(x + 4) 6) (100−2)(100+2) = 10.000 − 4 = 9.996 7) 9x² − 12x + 4

Çözümlü örnek sorular

Aşağıdaki sorular Net Up uygulamasının soru havuzundan alınmıştır; kolaydan zora doğru sıralıdır. Her birinin adım adım çözümü de birlikte verilmiştir.

KOLAY

(x + 3)(x − 2) çarpımının sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) x² + x + 6
B) x² − x − 6
C) x² + 5x − 6
D) x² + x − 6

Çözümü gör

(x + 3)(x − 2): Her terimi diğer her terimle çarp.

→ x × x = x²

→ x × (−2) = −2x

→ 3 × x = +3x

→ 3 × (−2) = −6

Benzer terimleri topla:

x² + (−2x + 3x) + (−6)

= x² + x − 6

Seçenekleri kontrol et:

D) x² + x − 6 ✓

B) x² − x − 6 → orta terimi yanlış hesaplamış (−2x+3x=−x değil +x) ✗

C) x² + 5x − 6 → yanlış çarpım (3+2=5 yapmış) ✗

D) x² + x + 6 → son terimin işareti yanlış ✗

ORTA

(x + 2)(x − 3) + (x + 1)² ifadesini açınız.

A) 2x² + x − 5
B) 2x² − x − 5
C) 2x² + x + 5
D) x² + x − 5

Çözümü gör

Adım 1: (x+2)(x−3) açılımı:

→ x² − 3x + 2x − 6 = x² − x − 6

Adım 2: (x+1)² açılımı:

→ x² + 2·x·1 + 1² = x² + 2x + 1

Adım 3: Topla:

→ x² terimleri: x² + x² = 2x²

→ x terimleri: −x + 2x = +x

→ sabitler: −6 + 1 = −5

→ Sonuç: 2x² + x − 5

Seçenekleri karşılaştır:

A) 2x²+x−5 → doğru ✓

B) 2x²−x−5 → x işareti yanlış ✗

C) 2x²+x+5 → sabit işareti yanlış ✗

D) x²+x−5 → x² katsayısı yanlış ✗

ZOR

3x(x − 2) − 2x(x + 4) + (x + 1)² ifadesi sadeleştirildiğinde ax² + bx + c biçimindedir. Buna göre x'li terimin katsayısı (b) kaçtır?

A) −12
B) 12
C) −10
D) −14

Çözümü gör

3x(x − 2) = 3x² − 6x

→ 2x(x + 4) = 2x² + 8x, (x + 1)² = x² + 2x + 1

→ Toplam = (3x² − 6x) − (2x² + 8x) + (x² + 2x + 1) = 2x² − 12x + 1

→ x'li terimin katsayısı b = −12

Net hesabı: Bu konudan kaç doğru çıkardığının puanına etkisini merak ediyorsan LGS puan hesaplama aracımızla deneyebilirsin.

Sık sorulan sorular

a² + b² neden çarpanlara ayrılamaz?

Çünkü tam sayı katsayılı iki çarpanın çarpımı olarak yazılamaz. Yalnızca iki kare farkı ayrılabilir. Soruda a² + b² görürsen başka bir yol aranıyor demektir.

Bu konu hangi konuya hazırlık?

Doğrusal denklemler ve ileride ikinci derece denklemler. Çarpanlara ayırma, denklem çözmenin temel aracı.

Konuyu öğrendin. Şimdi soru çöz.

Çarpanlara ayırmada hız, kalıbı tanımaktan geliyor — hangi yöntemi kullanacağını görmek tekrarla gelişir. Net Up'ta seviyene göre soru gelir, yanlışların hata defterine düşer, çözünce silinir. Türkçe ve Matematik ücretsiz.

Sonraki konu Doğrusal Denklemler →