Ücretsiz indir
8. Sınıf Matematik › Eşitsizlikler

Eşitsizlikler

Eşitsizlik çözme, işaret dönmesi kuralı ve sayı doğrusunda gösterim.

8. sınıf · cebir Tek kritik kural Denklemlerin devamı

Eşitsizlikler, doğrusal denklemlerin neredeyse aynısı — tek bir kural farkıyla. O kuralı bilmeyen öğrenci soruların yarısını kaybeder, bilen ise denklem çözmeyi biliyorsa bu konuyu da biliyor demektir.

Eşitsizlik işaretleri:
< küçüktür > büyüktür ≤ küçük veya eşit ≥ büyük veya eşit
Denklemden farkı: denklemin çözümü tek sayıdır, eşitsizliğin çözümü bir aralıktır (sonsuz sayıda değer).
Bu sayfada
  1. Tek kritik kural: işaret dönmesi
  2. Eşitsizlik çözme
  3. Sayı doğrusunda gösterim
  4. Tam sayı çözüm sayısı
  5. Çift eşitsizlik
  6. Problem soruları
  7. Sık yapılan hatalar
  8. Kendini test et

1. Tek kritik kural: işaret dönmesi

Eşitsizliğin iki tarafı NEGATİF bir sayıyla çarpılır veya bölünürse, eşitsizlik yönü DEĞİŞİR.
−3x > 9 x < −3 ← işaret döndü (−3'e bölündü)
Neden dönüyor? Sayıyla görelim.
2 < 5 (doğru) iki tarafı (−1) ile çarp: −2 ? −5 −2 > −5 olur, çünkü sayı doğrusunda −2 sağda, −5 solda. → işaret ters döndü ✔

Mantığı bir kez gördüğünde kuralı ezberlemene gerek kalmaz: negatifle çarpmak sayı doğrusunda yönü ters çeviriyor.

Pozitif sayıyla çarpma/bölmede işaret DEĞİŞMEZ. Toplama ve çıkarmada da değişmez. Yalnızca negatifle çarpma/bölme yönü çevirir.

2. Eşitsizlik çözme

2x + 3 < 11
2x < 11 − 3 2x < 8 x < 4 (2 pozitif, işaret aynı kaldı) Çözüm: x < 4
3x − 7 ≤ 8
3x ≤ 15 x ≤ 5
−2x + 4 < 10  (dikkat: negatif katsayı)
−2x < 6 x > −3 ← (−2)'ye bölündü, İŞARET DÖNDÜ Çözüm: x > −3 Kontrol: x = 0 alalım → −2·0 + 4 = 4 < 10 ✔ x = −5 alalım → −2·(−5) + 4 = 14 < 10 ✘ → x > −3 doğru

Kontrol yöntemi: çözüm aralığından bir sayı seç, eşitsizliğe koy. Sağlıyorsa doğru, sağlamıyorsa işareti ters çevirmeyi unutmuşsun.

x/2 ≥ 5
x ≥ 10 (2 pozitif, işaret aynı)

3. Sayı doğrusunda gösterim

İçi BOŞ nokta (○): değer dahil değil → < veya >
İçi DOLU nokta (●): değer dahil → ≤ veya ≥
Gösterimler.
x < 4 ←────────○ (4 dahil değil, sola) 4 x ≤ 4 ←────────● (4 dahil, sola) 4 x > −3 ○────────→ (−3 dahil değil, sağa) −3 x ≥ −3 ●────────→ (−3 dahil, sağa) −3

4. Tam sayı çözüm sayısı (LGS'de sık)

−2 < x ≤ 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?
−2 dahil DEĞİL → −1'den başla 3 dahil → 3'e kadar −1, 0, 1, 2, 3 → 5 tam sayı

Dikkat: uç değerlerin dahil olup olmadığı cevabı doğrudan değiştirir. "<" ile "≤" arasındaki fark burada bir sayı demek.

Hızlı sayma: Tam sayı aralığında adet = (büyük uç − küçük uç) − 1 + (dahil olan uç sayısı). Ama en güvenlisi küçük aralıklarda tek tek yazmak.

5. Çift eşitsizlik

1 < 2x + 3 < 9 eşitsizliğini çözünüz.
Her üç tarafa aynı işlem: 1 − 3 < 2x < 9 − 3 −2 < 2x < 6 −1 < x < 3 (üç tarafı 2'ye böl) Çözüm: −1 < x < 3 Tam sayılar: 0, 1, 2 → 3 tane

Yöntem aynı — ne yaptıysan üç tarafa da yap.

6. Problem soruları

Bir sayının 3 katının 5 fazlası 20'den küçüktür. Bu sayı en fazla kaç olabilir?
3x + 5 < 20 3x < 15 x < 5 x < 5 ise en büyük TAM SAYI değeri 4

Dikkat: "x < 5" cevabı 5 değildir. Soru "en fazla kaç" diyorsa ve tam sayı isteniyorsa cevap 4'tür. LGS bu ayrımı sever.

Çeviri sözlüğü: "en az" → ≥ · "en fazla" → ≤ · "küçüktür" → < · "büyüktür" → > · "geçmez" → ≤ · "az değildir" → ≥

7. Sık yapılan hatalar

  • Negatifle bölerken işareti çevirmemek. Konunun tek gerçek tuzağı bu; soruların çoğu bunu ölçüyor.
  • Pozitifle bölerken gereksiz çevirmek. Yalnızca negatifte döner.
  • "<" ile "≤" farkını atlamak. Tam sayı sayarken bir sayı fark eder.
  • "En fazla kaç" sorusunda uç değeri vermek. x < 5 ise en fazla 4'tür.
  • İçi boş/dolu noktayı karıştırmak. Boş = dahil değil.
  • Çift eşitsizlikte tek tarafa işlem yapmak. Üç tarafa birden.

8. Kendini test et

  1. 3x + 4 < 19 eşitsizliğini çözünüz.
  2. −4x ≥ 12
  3. −3x + 1 > 7
  4. −1 ≤ x < 4 aralığında kaç tam sayı vardır?
  5. 2 < 3x − 1 < 11
  6. Bir sayının 2 katının 3 eksiği 9'dan büyüktür. Bu sayı en az kaç olabilir? (tam sayı)
Cevapları göster
1) 3x < 15 → x < 5 2) −4x ≥ 12 → x ≤ −3 (İŞARET DÖNDÜ) 3) −3x > 6 → x < −2 (İŞARET DÖNDÜ) Kontrol: x = −3 → −3(−3)+1 = 10 > 7 ✔ 4) −1, 0, 1, 2, 3 → 5 tam sayı (−1 dahil, 4 dahil değil) 5) 3 < 3x < 12 → 1 < x < 4 Tam sayılar: 2, 3 → 2 tane 6) 2x − 3 > 9 → 2x > 12 → x > 6 x > 6 ise en küçük tam sayı 7

Çözümlü örnek sorular

Aşağıdaki sorular Net Up uygulamasının soru havuzundan alınmıştır; kolaydan zora doğru sıralıdır. Her birinin adım adım çözümü de birlikte verilmiştir.

KOLAY

Bir sınıfta 20'den fazla, 25'ten az öğrenci vardır. Öğrenciler 4'erli sıralara oturacak ve her öğrenci bir sıraya oturacaktır.

Buna göre en az kaç sıra gereklidir?

  • A) 6
  • B) 5
  • C) 21
  • D) 7
Çözümü gör

Eşitsizliği kuralım:

→ Sıra sayısına x diyelim. Her sırada 4 kişi oturduğuna göre toplam kapasite 4x'tir.

→ Öğrenci sayısı 20'den büyük bir tam sayı olduğuna göre en az 21'dir.

→ Herkes oturacaksa kapasite öğrenci sayısından küçük olamaz: 4x ≥ 21

→ Her iki tarafı 4'e bölelim: x ≥ 5,25

→ x bir sıra sayısı olduğundan tam sayıdır. 5,25'ten büyük en küçük tam sayı 6'dır.

Kontrol: 5 sıra yalnızca 5 × 4 = 20 kişi alır, oysa öğrenci sayısı en az 21'dir. 6 sıra ise 24 kişiye kadar yeter; sınıftaki en fazla öğrenci sayısı 24 olduğu için 6 sıra her durumda yeterlidir.

ORTA

x ve y pozitif tam sayıları için 3x + 2y ≤ 12 koşulunu sağlayan (x, y) çiftlerinin sayısı kaçtır?

  • A) 8
  • B) 7
  • C) 6
  • D) 9
Çözümü gör

x ve y pozitif tam sayı → x ≥ 1, y ≥ 1

x = 1: 3 + 2y ≤ 12 → 2y ≤ 9 → y ≤ 4,5 → y ∈ {1,2,3,4} → 4 çift

x = 2: 6 + 2y ≤ 12 → 2y ≤ 6 → y ≤ 3 → y ∈ {1,2,3} → 3 çift

x = 3: 9 + 2y ≤ 12 → 2y ≤ 3 → y ≤ 1,5 → y ∈ {1} → 1 çift

x = 4: 12 + 2y ≤ 12 → 2y ≤ 0 → y ≤ 0 → pozitif yok

Toplam: 4 + 3 + 1 = 8 çift

ZOR

Bir öğrenci 5 sınavdan 3'ünde 70, 80 ve 65 aldı. Ortalama 75'ten yüksek olsun. Kalan 2 sınavdan toplamda en az kaç puan almalı?

  • A) 155
  • B) 160
  • C) 161
  • D) 165
Çözümü gör

"Ortalama 75'ten yüksek" → toplam > 5 × 75 = 375

Mevcut 3 sınav toplamı: 70 + 80 + 65 = 215

Kalan 2 sınavdan gerekli: k > 375 − 215 = 160

k tam sayı olduğundan: k ≥ 161

Seçenekleri kontrol et:

A) 155 → 215+155=370 < 375 ✗

B) 160 → 215+160=375 → 375 > 375 ✗ (eşit, büyük değil)

C) 161 → 215+161=376 > 375 ✓

D) 165 → fazla, ama 161 minimum ✗

Net hesabı: Bu konudan kaç doğru çıkardığının puanına etkisini merak ediyorsan LGS puan hesaplama aracımızla deneyebilirsin.

Sık sorulan sorular

İşaret dönmesini nasıl unutmam?

Her negatif bölme/çarpma işleminden sonra çözüm aralığından bir sayı seçip eşitsizliğe koy. Sağlamıyorsa işareti çevirmeyi atlamışsın. Bu kontrol 10 saniye sürer ve konudaki tek ciddi hatayı yakalar.

Eşitsizlik ile denklem aynı şekilde mi çözülür?

Neredeyse. Tüm adımlar aynı — yalnızca negatifle çarpma/bölme adımında yön değişir. Bu yüzden doğrusal denklemleri bilen öğrenci bu konuyu hızlı öğrenir.

Konuyu öğrendin. Şimdi soru çöz.

Bu konuda başarı tek kuralı hiç atlamamaya bağlı — o da ancak tekrarla otomatikleşir. Net Up'ta seviyene göre soru gelir, yanlışların hata defterine düşer, çözünce silinir. Türkçe ve Matematik ücretsiz.

App Store'dan indirin Google Play'den indirin
Sonraki konu Veri Analizi →